堆排序

堆排序

直接看视频：堆排序(heapsort)。

堆排序的引入

我们知道简单选择排序的时间复杂度为O(n^2)，熟悉各种排序算法的朋友都知道，这个时间复杂度是很大的，所以怎样减小简单选择排序的时间复杂度呢？简单选择排序主要操作是进行关键字的比较，所以怎样减少比较次数就是改进的关键。简单选择排序中第i趟需要进行n-i次比较，如果我们用到前面已排好的序列a[1...i-1]是否可以减少比较次数呢？答案是可以的。举个例子来说吧，A、B、C进行比赛，B战胜了A，C战胜了B，那么显然C可以战胜A，C和A就不用比了。正是基于这种思想，有人提出了树形选择排序：对n个记录进行两两比较，然后在([n/2]向上取整)个较小者之间在进行两两比较，如此重复，直到选出最小记录。但是这种排序算法需要的辅助空间比较多，所以威洛姆斯(J . Willioms)在1964年提出了另一种选择排序，这就是下面要谈的堆排序。

什么是堆

首先堆heap是一种数据结构，是一棵完全二叉树且满足性质：所有非叶子结点的值均不大于或均不小于其左、右孩子结点的值。

堆排序思想

堆排序的基本思想是利用heap这种数据结构(可看成一个完全二叉树)，使在排序中比较的次数明显减少。

堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))， 非稳定排序，原地排序(空间复杂度O(1))。

堆排序的关键在于建堆和调整堆，下面简单介绍一下建堆的过程：

第1趟将索引0至n-1处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的最后一个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了最后。

第2趟将索引0至n-2处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第二个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第2位。

…

第k趟将索引0至n-k处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第k个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第k位。

其实整个堆排序过程中, 我们只需重复做两件事：

  • 建堆(初始化+调整堆, 时间复杂度为O(n));

  • 拿堆的根节点和最后一个节点交换(siftdown, 时间复杂度为O(n*log n) ).

因而堆排序整体的时间复杂度为O(n*log n).

堆排序方法说明

下面通过一组数据说明堆排序的方法：

9, 79, 46, 30, 58, 49

1: 先将待排序的数视作完全二叉树(按层次遍历顺序进行编号, 从0开始)，如下图:

2：完全二叉树的最后一个非叶子节点，也就是最后一个节点的父节点。最后一个节点的索引为数组长度len-1，那么最后一个非叶子节点的索引应该是为(len-1)/2。也就是从索引为2的节点开始，如果其子节点的值大于其本身的值。则把他和较大子节点进行交换，即将索引2处节点和索引5处元素交换。交换后的结果如图：

建堆从最后一个非叶子节点开始即可

3：向前处理前一个节点，也就是处理索引为1的节点，此时79>30,79>58,因此无需交换。

4：向前处理前一个节点，也就是处理索引为0的节点，此时9 < 79,9 < 49, 因此需交换。应该拿索引为0的节点与索引为1的节点交换，因为79>49. 如图:

5：如果某个节点和它的某个子节点交换后，该子节点又有子节点，系统还需要再次对该子节点进行判断。如上图因为1处、3处、4处中，1处的值大于3、4处的值，所以还需交换。

牢记： 将每次堆排序得到的最大元素与当前规模的数组最后一个元素交换.

C++源码实现

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

void swap(int& i, int& j) {
    int temp = i;
    i = j;
    j = temp;
}

void heapify(int tree[], int n, int i) {
    int last_index = n;
    if(i > (last_index - 1) / 2) return;

    int left_child = 2 * i + 1;
    int right_child = 2 * i + 2;

    int max_index = i;
    if(left_child < n && tree[max_index] < tree[left_child]) {
        max_index = left_child;
    }
    if(right_child < n && tree[max_index] < tree[right_child]) {
        max_index = right_child;
    }

    if(max_index != i) {
        swap(tree[i], tree[max_index]);
        heapify(tree, n, max_index);
    }
}

void creat_heap(int* tree, int n) {
    int last_index = n - 1;
    for(int i = (last_index - 1) / 2; i >= 0; i--) {
        heapify(tree, n, i);
    }
}

void heap_sort(int* tree, int n) {
    creat_heap(tree, n);
    for(int i = n; i > 0; i--) {
        swap(tree[0], tree[i]);
        heapify(tree, i, 0);
    }

}

int main()
{
    int tree[] = {1, 10, 3, 50, 3, 60, 70};
    int n = sizeof(tree) / sizeof(tree[0]);

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cout << tree[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    heap_sort(tree, n);

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cout << tree[i] << " ";
    }
}

这里还有一个不是排序，而是找TopK大的代码。相当于维护一个小顶堆，不断用其他数和小顶堆的顶部去比较，如果比小顶堆的数要大，则替换小顶堆，然后重构一遍小顶堆。

void topk_min_heap(int arr[], int len) {
    int root = 0;  // 指向当前的根结点
    int LeftChild = 2 * root + 1;  // 指向当前根结点的左孩子
    int MinChild = LeftChild;

    int temp = arr[0];  // 记录当前根结点元素

    // 开始逐渐向下调整
    while(LeftChild <= len) {
        if(LeftChild < len && arr[LeftChild] > arr[LeftChild + 1]){
            MinChild = LeftChild + 1;  // Child指向子节点中最小的那个
        }
        if(temp > arr[MinChild]) {
            arr[root] = arr[MinChild];
            root = MinChild;  // 重新调整跟结点指向
            LeftChild = 2 * root + 1;  // 重新调整左孩子指向
            MinChild = LeftChild;  // 重新调整孩子指向
        } else {
            break;
        }
    }
    arr[root] = temp;
}

参考资料

本文参考此博客。

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堆排序是什么鬼？

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