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  • Momentum动量法
  • 各类梯度下降算法的演化
  • 结论
  • 算法
  • 动量算法直观效果解释
  • 参考资料

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  1. 梯度下降算法

动量法Momentum

Previous随机梯度下降SGDNext牛顿动量Nesterov

Last updated 5 years ago

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Momentum动量法

各类梯度下降算法的演化

结论

1.动量方法主要是为了解决Hessian矩阵病态条件问题(直观上讲就是梯度高度敏感于参数空间的某些方向)的。

2.加速学习

3.一般将参数设为0.5,0.9,或者0.99,分别表示最大速度2倍,10倍,100倍于SGD的算法。

4.通过速度v,来积累了之间梯度指数级衰减的平均,并且继续延该方向移动:

v←αv−ϵgv \leftarrow \alpha v - \epsilon gv←αv−ϵg

算法

动量算法直观效果解释

如图所示,红色为SGD+Momentum。黑色为SGD。可以看到黑色为典型Hessian矩阵病态的情况,相当于大幅度的徘徊着向最低点前进。

而由于动量积攒了历史的梯度,如点P前一刻的梯度与当前的梯度方向几乎相反。因此原本在P点原本要大幅徘徊的梯度,主要受到前一时刻的影响,而导致在当前时刻的梯度幅度减小。

直观上讲就是,要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似,这种趋势在当前时刻则会加强;要是不同,则当前时刻的梯度方向减弱。

从另一个角度讲:

要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似,这种趋势在当前时刻则会加强;要是不同,则当前时刻的梯度方向减弱。

假设每个时刻的梯度g总是类似,那么由v←αv−ϵgv \leftarrow \alpha v - \epsilon gv←αv−ϵg我们可以直观的看到每次的步长为:

ϵ∣∣g∣∣1−α\frac{\epsilon||g||}{1-\alpha}1−αϵ∣∣g∣∣​

即当设为0.5,0.9,或者0.99,分别表示最大速度2倍,10倍,100倍于SGD的算法(注意,能这样算的前提是,假设g保持不变,多轮后v的值基本不再变化)。

现在证明每轮的梯度g保持不变时,多轮后v的值基本不再变化:

v0←0v1←αv0−ϵg=−ϵgv2←αv1−ϵg=−αϵg−ϵg=−ϵg(α+1)v3←αv2−ϵg=−αϵg(α+1)−ϵg=−ϵg(α2+α+1)v4←αv2−ϵg=−αϵg(α2+α+1)−ϵg=−ϵg(α3+α2+α+1)...vn←αvn−1−ϵg=−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)\begin{aligned} &v_0 \leftarrow 0\\ &v_1 \leftarrow \alpha v_0-\epsilon g=-\epsilon g\\ &v_2 \leftarrow \alpha v_1-\epsilon g=-\alpha \epsilon g-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha + 1)\\ &v_3 \leftarrow \alpha v_2-\epsilon g=-\alpha \epsilon g(\alpha + 1)-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^2 + \alpha + 1)\\ &v_4 \leftarrow \alpha v_2-\epsilon g=-\alpha \epsilon g(\alpha^2 + \alpha + 1)-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1)\\ &\quad\quad ...\\ &v_n \leftarrow \alpha v_{n-1}-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)\\ \end{aligned}​v0​←0v1​←αv0​−ϵg=−ϵgv2​←αv1​−ϵg=−αϵg−ϵg=−ϵg(α+1)v3​←αv2​−ϵg=−αϵg(α+1)−ϵg=−ϵg(α2+α+1)v4​←αv2​−ϵg=−αϵg(α2+α+1)−ϵg=−ϵg(α3+α2+α+1)...vn​←αvn−1​−ϵg=−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)​

我们现在看下vn/vn−1v_{n}/v_{n-1}vn​/vn−1​:

vnvn−1=−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)−ϵg(αn−2+αn−3+...+α+1)≈1\frac{v_n}{v_{n-1}}=\frac{-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)}{-\epsilon g(\alpha^{n-2} + \alpha^{n-3} + ... + \alpha + 1)}\approx 1vn−1​vn​​=−ϵg(αn−2+αn−3+...+α+1)−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)​≈1

所以上述假设确实成立。

或者我们直接可以从vn/v1v_{n}/v_{1}vn​/v1​来看最大速度的倍数:

vn=−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)=−ϵg(1−αn1−α)≈−ϵg1−α=v11−α\begin{aligned} v_n&=-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)\\ &=-\epsilon g(\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha})\\ &\approx \frac{-\epsilon g}{1-\alpha}\\ &=\frac{v_1}{1-\alpha} \end{aligned}vn​​=−ϵg(αn−1+αn−2+...+α+1)=−ϵg(1−α1−αn​)≈1−α−ϵg​=1−αv1​​​

即vnv_{n}vn​是v1v_1v1​的1/(1−α)1/(1-\alpha)1/(1−α)倍。

参考资料

本文参考了此博客。

Deep Learning 最优化方法之Momentum(动量)
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各类梯度下降算法的演化
结论
算法
动量算法直观效果解释
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