动量法Momentum

Momentum动量法

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• 各类梯度下降算法的演化

• 结论

• 算法

• 动量算法直观效果解释

各类梯度下降算法的演化

revolution-of-gradient-descent

结论

1.动量方法主要是为了解决Hessian矩阵病态条件问题（直观上讲就是梯度高度敏感于参数空间的某些方向）的。

2.加速学习

3.一般将参数设为0.5,0.9，或者0.99，分别表示最大速度2倍，10倍，100倍于SGD的算法。

4.通过速度v，来积累了之间梯度指数级衰减的平均，并且继续延该方向移动：

$$v \leftarrow \alpha v - \epsilon g$$

算法

momentum

动量算法直观效果解释

如图所示，红色为SGD+Momentum。黑色为SGD。可以看到黑色为典型Hessian矩阵病态的情况，相当于大幅度的徘徊着向最低点前进。

而由于动量积攒了历史的梯度，如点P前一刻的梯度与当前的梯度方向几乎相反。因此原本在P点原本要大幅徘徊的梯度，主要受到前一时刻的影响，而导致在当前时刻的梯度幅度减小。

直观上讲就是，要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似，这种趋势在当前时刻则会加强；要是不同，则当前时刻的梯度方向减弱。

momentum-explanation

从另一个角度讲：

要是当前时刻的梯度与历史时刻梯度方向相似，这种趋势在当前时刻则会加强；要是不同，则当前时刻的梯度方向减弱。

假设每个时刻的梯度g总是类似，那么由$v \leftarrow \alpha v - \epsilon g$我们可以直观的看到每次的步长为：

$$\frac{\epsilon||g||}{1-\alpha}$$

即当设为0.5,0.9，或者0.99，分别表示最大速度2倍，10倍，100倍于SGD的算法（注意，能这样算的前提是，假设g保持不变，多轮后v的值基本不再变化）。

现在证明每轮的梯度g保持不变时，多轮后v的值基本不再变化：

$$\begin{aligned} &v_0 \leftarrow 0\\ &v_1 \leftarrow \alpha v_0-\epsilon g=-\epsilon g\\ &v_2 \leftarrow \alpha v_1-\epsilon g=-\alpha \epsilon g-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha + 1)\\ &v_3 \leftarrow \alpha v_2-\epsilon g=-\alpha \epsilon g(\alpha + 1)-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^2 + \alpha + 1)\\ &v_4 \leftarrow \alpha v_2-\epsilon g=-\alpha \epsilon g(\alpha^2 + \alpha + 1)-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1)\\ &\quad\quad ...\\ &v_n \leftarrow \alpha v_{n-1}-\epsilon g=-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)\\ \end{aligned}$$

我们现在看下$v_{n}/v_{n-1}$：

$$\frac{v_n}{v_{n-1}}=\frac{-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)}{-\epsilon g(\alpha^{n-2} + \alpha^{n-3} + ... + \alpha + 1)}\approx 1$$

所以上述假设确实成立。

或者我们直接可以从$v_{n}/v_{1}$来看最大速度的倍数：

$$\begin{aligned} v_n&=-\epsilon g(\alpha^{n-1} + \alpha^{n-2} + ... + \alpha + 1)\\ &=-\epsilon g(\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha})\\ &\approx \frac{-\epsilon g}{1-\alpha}\\ &=\frac{v_1}{1-\alpha} \end{aligned}$$

即$v_{n}$是$v_1$的$1/(1-\alpha)$倍。

参考资料

• Deep Learning 最优化方法之Momentum（动量）

本文参考了此博客。