概率论与贝叶斯先验

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概率论基础
- 概率与直观
  - 本福特定律
  - 条件概率
  - 全概率公式
  - [贝叶斯(Bayes)公式](#贝叶斯(Bayes)公式)
- 常见概率分布
- Sigmod/Logistic函数的引入
统计量
- 期望/方差/协方差/相关系数
- 独立和不相关
大数定律
中心极限定理
最大似然估计
- 过拟合

概率论基础

概率与直观

本福特定律

本福特定律（本福特法则），又称第一数字定律，是指在实际生活得出的一组数据中，以1为首位数字出现的概率约为总数的三成；是直观想象1/9的三倍。

数字

出现概率

30.1%

17.6%

12.51%

9.7%

7.9%

6.7%

5.8%

5.1%

4.6%

广泛存在于生活中，比如：

阶乘、素数数列、斐波那契数列首位
住宅地址号码
经济数据反欺诈
选举投票反欺诈

条件概率

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

全概率公式

P(A)=\sum_{i}P(A|B_i)P(B_{i})

贝叶斯(Bayes)公式

P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_jP(A|B_j)P(B_i)}

贝叶斯公式一定要熟练的掌握运用。

思考题

8支步枪中有5支已校准过，3支未校准。一名射手用校准过的枪射击，中吧概率为0.8；用未校准过的枪射击，中靶概率为0.3；现从8支枪中随机取一支射击，结果中靶了。求该枪是已校准过的概率。

凡是从结果中算原因，基本就是使用贝叶斯公式。

解：

\begin{aligned} &P(G=1)=\frac{5}{8}\ \ \ \ \ \ P(G=0)=\frac{3}{8}\\ &P(A=1|G=1)=0.8\ \ \ \ \ \ P(A=0|G=1)=0.2\\ &P(A=1|G=0)=0.3\ \ \ \ \ \ P(A=0|G=0)=0.7\\ &P(G=1|A=1)=?\\ &P(G=1|A=1)=\frac{P(A=1|G=1)}{\sum_{i\in G}P(A=1|G=i)P(G=i)}=\frac{0.8\times \frac{5}{8}}{0.8\times\frac{5}{8}+0.3\times\frac{3}{8}}=0.8163 \end{aligned}

我们后面会聊到贝叶斯网络，里面会讲到朴素贝叶斯，贝叶斯概率和朴素贝叶斯的关系就像是雷锋和雷峰塔的区别，就是JavaScript和Java的区别。朴素贝叶斯是假定条件独立，假定特征均衡，进行分类的非常重要的分类器，曾经也被誉为十大数据挖掘算法之一。而贝叶斯呢？得看上下文，贝叶斯公式是贝叶斯；说模型是用贝叶斯的方法做，那意思就是想加入先验，想把它的参数当作是随机变量。

给定某系统的若干样本x，计算该系统的参数，即

P(\theta|x)=\frac{P(x|\theta)P(\theta)}{P(xc)}

$P(\theta)$ ：没有数据支持下， $\theta$ 发生的概率，即在获取经验之前的概率：先验概率。
$P(\theta|x)$ ：在数据x的支持下， $\theta$ 发生的概率：后验概率。
$P(x|\theta)$ ：给定某参数 $\theta$ 的概率分布：似然函数。想算算在某个参数给定的时候，换句话，系统给定了的时候，那么说，这个样本x的发生概率，即 $x_1,x_2,x_3...,x_n$ 发生的联合概率，那么说，像 $x_1,x_2,x_3...,x_n$ 这样发生的概率，那就是似然概率，不是很理解
$P(xf)$ ：没有任何参数影响下样本x的发生概率。不同的参数 $\theta$ ，对于 $P(x)$ 没有任何影响。

假设 $x=(x_1,x_2,x_3,...x_m)$ 一共m个样本，给定了m个样本x，看哪个参数 $\theta$ 取最大，这不就是这个意思嘛。我们想算算哪个参数可能概率取最大，哪个就最有可能的参数嘛。因为 $P(x)$ 和任何参数的取值都无关，所以，我们想取 $P(\theta|x)$ 最大，就是 $P(x|\theta)P(\theta)$ 取最大，跟底下分母的 $P(x)$ 无关，可以把分母 $P(x)$ 扔掉，即

P(\theta|x)\propto P(x|\theta)P(\theta)

例如：

在没有任何信息的前提下，猜测某人姓氏：先猜李王张刘......猜对的概率相对较大：先验概率。
若知道某人来自"牛家村"，则他姓牛的概率很大：后验概率——但不排除他姓郭、杨等情况。

常见概率分布

常见分布可以完美统一为一类分布。

两点分布(伯努利分布)

0-1分布，Bernoulli distribution

已知随机变量X的分布律为

1-p

则有

\begin{aligned} E(X)&=1\cdot p+0\cdot q=p\\ D(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=1^2\cdot p+0^2\cdot (1-p)-p^2=pq \end{aligned}

二项分布

Binomial Distribution

两点分布做n次试验，那么就变成了二项分布

设随机变量X服从参数为 $n,p$ 的两点分布,如何求期望和方差？

（法一）设 $X_i$ 为第 $i$ 次试验中事件A的发生次数， $i=1,2,...,n$ ，则

X=\sum_{i=1}^{n}X_i

显然， $X_i$ 相互独立均服从参数为p的0-1分布，

所以

\begin{aligned} E(X)=E(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=np\\ D(X)=D(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n D(X_i)=np(1-p) \end{aligned}

（法二）X的分布律为

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},(k=0,1,2,...,n),

则有

\begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^{n}k\cdot P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{kn!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ \end{aligned}

正态分布

正态分布的前世今生(四)

Sigmod/Logistic函数的引入

统计量

期望/方差/协方差/相关系数

样本方差的有偏与无偏估计

为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？(魏天闻的回答)

为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？(马同学的回答)

为什么$\frac{1}{n}\sum{i=1}^n(x^{(i)}-\hat{\mu)}$要小于$\frac{1}{n}\sum{i=1}^n(x^{(i)}-\mu)$？

因为显然$\hat{\mu}\neq\mu$啊。

如果对MSE进行分解，它可以写成bias的平方＋估计量的方差，所以它同时衡量了精度（accuracy）和准度（precision）。